mirror of
https://github.com/saitohirga/WSJT-X.git
synced 2026-06-07 00:14:46 -04:00
Squashed 'boost/' content from commit b4feb19f2
git-subtree-dir: boost git-subtree-split: b4feb19f287ee92d87a9624b5d36b7cf46aeadeb
This commit is contained in:
Bill Somerville
@@ -0,0 +1,778 @@
|
||||
<html>
|
||||
<head>
|
||||
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=US-ASCII">
|
||||
<title>The Effect of a Poor Initial Guess</title>
|
||||
<link rel="stylesheet" href="../../math.css" type="text/css">
|
||||
<meta name="generator" content="DocBook XSL Stylesheets V1.79.1">
|
||||
<link rel="home" href="../../index.html" title="Math Toolkit 2.5.1">
|
||||
<link rel="up" href="../roots.html" title="Root finding">
|
||||
<link rel="prev" href="root_finding_examples/elliptic_eg.html" title="A More complex example - Inverting the Elliptic Integrals">
|
||||
<link rel="next" href="bad_roots.html" title="Examples Where Root Finding Goes Wrong">
|
||||
</head>
|
||||
<body bgcolor="white" text="black" link="#0000FF" vlink="#840084" alink="#0000FF">
|
||||
<table cellpadding="2" width="100%"><tr>
|
||||
<td valign="top"><img alt="Boost C++ Libraries" width="277" height="86" src="../../../../../../boost.png"></td>
|
||||
<td align="center"><a href="../../../../../../index.html">Home</a></td>
|
||||
<td align="center"><a href="../../../../../../libs/libraries.htm">Libraries</a></td>
|
||||
<td align="center"><a href="http://www.boost.org/users/people.html">People</a></td>
|
||||
<td align="center"><a href="http://www.boost.org/users/faq.html">FAQ</a></td>
|
||||
<td align="center"><a href="../../../../../../more/index.htm">More</a></td>
|
||||
</tr></table>
|
||||
<hr>
|
||||
<div class="spirit-nav">
|
||||
<a accesskey="p" href="root_finding_examples/elliptic_eg.html"><img src="../../../../../../doc/src/images/prev.png" alt="Prev"></a><a accesskey="u" href="../roots.html"><img src="../../../../../../doc/src/images/up.png" alt="Up"></a><a accesskey="h" href="../../index.html"><img src="../../../../../../doc/src/images/home.png" alt="Home"></a><a accesskey="n" href="bad_roots.html"><img src="../../../../../../doc/src/images/next.png" alt="Next"></a>
|
||||
</div>
|
||||
<div class="section">
|
||||
<div class="titlepage"><div><div><h3 class="title">
|
||||
<a name="math_toolkit.roots.bad_guess"></a><a class="link" href="bad_guess.html" title="The Effect of a Poor Initial Guess">The Effect of a Poor Initial
|
||||
Guess</a>
|
||||
</h3></div></div></div>
|
||||
<p>
|
||||
It's instructive to take our "toy" example algorithms, and use
|
||||
deliberately bad initial guesses to see how the various root finding algorithms
|
||||
fair. We'll start with the cubed root, and using the cube root of 500 as
|
||||
the test case:
|
||||
</p>
|
||||
<div class="informaltable"><table class="table">
|
||||
<colgroup>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
</colgroup>
|
||||
<thead><tr>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
Initial Guess=
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-500% (≈1.323)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-100% (≈3.97)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-50% (≈3.96)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-20% (≈6.35)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-10% (≈7.14)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-5% (≈7.54)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
5% (≈8.33)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
10% (≈8.73)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
20% (≈9.52)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
50% (≈11.91)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
100% (≈15.87)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
500 (≈47.6)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
</tr></thead>
|
||||
<tbody>
|
||||
<tr>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
bracket_and_solve_root
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
12
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
8
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
8
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
10
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
11
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
11
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
11
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
11
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
11
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
11
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
7
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
13
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
</tr>
|
||||
<tr>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
newton_iterate
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
12
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
7
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
7
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
5
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
5
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
5
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
5
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
6
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
7
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
9
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
</tr>
|
||||
<tr>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
halley_iterate
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
7
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
6
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
</tr>
|
||||
<tr>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
schroder_iterate
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
11
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
6
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
6
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
5
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
5
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
8
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
</tr>
|
||||
</tbody>
|
||||
</table></div>
|
||||
<p>
|
||||
As you can see <code class="computeroutput"><span class="identifier">bracket_and_solve_root</span></code>
|
||||
is relatively insensitive to starting location - as long as you don't start
|
||||
many orders of magnitude away from the root it will take roughly the same
|
||||
number of steps to bracket the root and solve it. On the other hand the derivative-based
|
||||
methods are slow to start, but once they have some digits correct they increase
|
||||
precision exceptionally fast: they are therefore quite sensitive to the initial
|
||||
starting location.
|
||||
</p>
|
||||
<p>
|
||||
The next table shows the number of iterations required to find the second
|
||||
radius of an ellipse with first radius 50 and arc-length 500:
|
||||
</p>
|
||||
<div class="informaltable"><table class="table">
|
||||
<colgroup>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
<col>
|
||||
</colgroup>
|
||||
<thead><tr>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
Initial Guess=
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-500% (≈20.6)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-100% (≈61.81)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-50% (≈61.81)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-20% (≈98.9)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-10% (≈111.3)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
-5% (≈117.4)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
5% (≈129.8)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
10% (≈136)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
20% (≈148.3)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
50% (≈185.4)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
100% (≈247.2)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
<th>
|
||||
<p>
|
||||
500 (≈741.7)
|
||||
</p>
|
||||
</th>
|
||||
</tr></thead>
|
||||
<tbody>
|
||||
<tr>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
bracket_and_solve_root
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
11
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
5
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
5
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
8
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
8
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
7
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
7
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
8
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
9
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
8
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
6
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
10
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
</tr>
|
||||
<tr>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
newton_iterate
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
</tr>
|
||||
<tr>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
halley_iterate
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
2
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
2
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
</tr>
|
||||
<tr>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
schroder_iterate
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
4
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
2
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
2
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
<td>
|
||||
<p>
|
||||
3
|
||||
</p>
|
||||
</td>
|
||||
</tr>
|
||||
</tbody>
|
||||
</table></div>
|
||||
<p>
|
||||
Interestingly this function is much more resistant to a poor initial guess
|
||||
when using derivatives.
|
||||
</p>
|
||||
</div>
|
||||
<table xmlns:rev="http://www.cs.rpi.edu/~gregod/boost/tools/doc/revision" width="100%"><tr>
|
||||
<td align="left"></td>
|
||||
<td align="right"><div class="copyright-footer">Copyright © 2006-2010, 2012-2014 Nikhar Agrawal,
|
||||
Anton Bikineev, Paul A. Bristow, Marco Guazzone, Christopher Kormanyos, Hubert
|
||||
Holin, Bruno Lalande, John Maddock, Jeremy Murphy, Johan Råde, Gautam Sewani,
|
||||
Benjamin Sobotta, Thijs van den Berg, Daryle Walker and Xiaogang Zhang<p>
|
||||
Distributed under the Boost Software License, Version 1.0. (See accompanying
|
||||
file LICENSE_1_0.txt or copy at <a href="http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt" target="_top">http://www.boost.org/LICENSE_1_0.txt</a>)
|
||||
</p>
|
||||
</div></td>
|
||||
</tr></table>
|
||||
<hr>
|
||||
<div class="spirit-nav">
|
||||
<a accesskey="p" href="root_finding_examples/elliptic_eg.html"><img src="../../../../../../doc/src/images/prev.png" alt="Prev"></a><a accesskey="u" href="../roots.html"><img src="../../../../../../doc/src/images/up.png" alt="Up"></a><a accesskey="h" href="../../index.html"><img src="../../../../../../doc/src/images/home.png" alt="Home"></a><a accesskey="n" href="bad_roots.html"><img src="../../../../../../doc/src/images/next.png" alt="Next"></a>
|
||||
</div>
|
||||
</body>
|
||||
</html>
|
||||
Reference in New Issue
Block a user